第14章 案例研究：低压需求预测

本章展示了住宅低压电网应用场景下短期（日前）预测的实际实现。分为两个主要部分：对住宅低压电网短期预测案例研究的深入检验（第14.2节）；以及演示如何在实际中实现一些方法和技术的示例 Python 代码（第14.3节）。

案例研究旨在演示如何：

• 识别实施短期预测时的主要挑战。

• 使用第6章的技术分析数据，并识别重要特征。

利用分析结果选择若干预测模型（来自第9章和第11章介绍的模型）。这包括点预测模型和概率预测模型。

测试、比较并评估预测结果。

本章首先简要讨论如何设计预测试验，这将为后续的案例研究奠定框架。

14.1 设计预测试验

值得重申在开发预测之前和过程中应考虑的一些核心要素。这些要素对于确保模型设计得当、方法论偏差最小，以及确保结果得到正确测试至关重要。完整的预测程序在第12章中概述，并将贯穿全文隐式遵循。本章将重点讨论以下主要考虑因素。

1. 初始实验设计：在绘制数据之前，值得勾勒出初始实验设计，并审核用于生成和测试预测的可用数据。考虑的数据类型是什么？是否预期具有季节性？数据的分辨率是多少，半小时一次，每十分钟一次？

是否有足够的数据来产生有意义的结果？如果有，如何将数据适当地划分为训练集、验证集和测试集（见第8.2节）？在分析数据之前思考这些问题很重要，以防止在测试中引入偏差。此外，一旦数据被划分，建议在生成预测之前避免分析测试集，以防止“作弊”并在提交预测之前看到真实值。最后一个考虑因素是决定使用哪种误差度量（见第7章）。错误选择的误差度量可能会扭曲结果，并使得评估和解释结果变得困难。

1. 可视化和数据分析：尽可能多地了解数据中的潜在特征和关系至关重要。第5章介绍了一些工具，展示了如何更好地理解数据。简单的时间序列图可以突出大规模行为，散点图可以识别变量之间的强关系，自相关图可以突出数据中的周期性和自回归行为。
2. 预处理：数据分析的必要组成部分是数据清洗和预处理。低质量的数据可能导致误导性的分析和无意义的结果。用机器学习中常用的一句话来说：‘垃圾进，垃圾出’。在应用任何模型之前，检查异常数据和缺失值，如第6.1.2节所示，然后将其替换或从数据集中删除。上一步的分析可用于选择合适的替换值。
3. 模型选择与训练：如第9章和第10章所示，存在多种可能的预测方法论，选择正确的模型需要利用数据分析的学习成果，考虑应用的具体要求，以及借鉴预测者自身的经验。验证集可以成为缩小模型选择范围的重要工具。选择适当的基准（见第9.1节）以帮助评估核心模型的准确性也至关重要。第12.2节介绍了可考虑用于帮助选择初始方法的进一步标准。
4. 测试与评估：必须将训练好的模型应用于未见过的测试集。通过评分和比较预测方法与误差度量（见第7章），可以更好地理解是什么使得某些方法更准确，以及哪些特征是重要（或不重要）的。这一步将使预测者能够在未来的模型迭代中进一步改进。

上述每一步都将在下面的案例研究中加以说明。

14.2 住宅低压电网

本应用考虑住宅低压变电站馈线短期（本示例中最多提前四天）负荷预测，将用于展示概率预测（第11章）以及点预测方法（第9章和第10章）。整个章节将基于作者在文献[1]中提出的研究。

此处，“居民低压（LV）网络需求”（或简称为居民网络）用于描述连接至居民区内配电网二次变电站的网络（第2.1节）。虽然连接的客户通常是居民，但也可能包括小型商业客户，如办公室、理发店等。需求时间序列表示直接从变电站供电的消费者的聚合需求（当然忽略电缆中的任何电气损耗）。这通常包括约40-50个消费者。此外，由于这些消费者通常是居民，人类行为往往是需求模式的重要决定因素，因此预期会出现日周期和周周期。这里考虑的数据来自英国东南部中等城镇布拉克内尔地区的100个居民馈线。

在低压侧，由于消费者聚合度低（第2.3节），需求比高压侧波动更大，这意味着概率预测对于量化需求的不确定性非常有用。

14.2.1 初始实验设计

数据包括100个居民低压馈线的半小时负荷数据，从2014年3月20日至2015年11月22日（含），共612天。通常每个居民低压变电站有4-6个馈线，每个馈线平均约45个消费者，最大馈线有109个居民消费者。另有7个馈线因数据库中信息缺失而无法获得连接信息，因此不清楚谁连接在其中。这些馈线通常为居民消费者供电，100个中有83个是纯居民的，其余通常为混合类型，只有一个已知仅为大型办公楼的业主照明供电。所有馈线的平均日需求约为602 kWh，最大和最小日需求分别约为1871 kWh和107 kWh。

首先要决定如何将数据划分为测试集和训练集。数据集大小适中，尽管更多数据当然更好，特别是对于预期具有年季节性的居民馈线需求。理想情况下，为了准确建模年季节性，应有多年的数据，以便捕捉典型的年际行为。然而，对于短期预测而言，数据长度是足够的。最后两个月被保留为样本外测试集。这包括从2015年10月1日至2015年11月22日（含）的53天。注意，这略低于数据的9%，少于第8.1.3节讨论的常见的4:1训练测试比（即20%测试数据）。这样做有几个原因：首先，在保留合理大小的测试集的同时增加了训练数据量；其次，确保预测覆盖一年中较冷的月份，这些月份需求通常较高，对关注过高峰值需求的网络运营商尤为重要。

应牢记，由于训练数据为559天，仅1.5年长度，在捕捉年季节性方面可能存在一些局限性，因此此处的方法不能可靠地扩展到中期（未来一个月至一年）或长期（超过一年）预测。

同一时间段内还提供了逐时温度预报数据和观测温度数据。预报均从每天上午7点开始，然后生成未来4天（96小时）的逐时预报。这意味着可以研究温度效应，但由于预报起点（预报开始点）仅限于每天上午7点，因此在将其用作预测模型的输入时必须谨慎。特别是，预期预报越向前，准确度会略有下降，这意味着例如四小时后的温度预报（即上午11点的预报）将比五小时或更长时间后的预报（即从中午开始的预报）更准确。

利用这些数据集，可以测试几种情况：

1. 案例1：预测模型的准确度如何随预测步长从1小时到96小时（四天）变化？
2. 案例2：所有居民低压馈线的预测准确度是否相似？如果不是，它们之间的区别因素是什么？
3. 案例3：在居民低压电网需求预测模型中纳入温度有何影响？

为了比较使用和不使用温度预报输入的模型，所有预测将从测试集每天上午7点的预报起点开始，生成未来四天的逐时预测。这需要将半小时需求时间序列聚合到小时分辨率（见第6.1.4节），以便将温度数据作为模型的输入。

为了对不同预测进行比较，需要选择一些预测误差度量，如第7章所述。为了在不同规模的馈线之间进行比较，需要不依赖于馈线规模（即通常的需求量级）的相对度量。MAPE是需求预测中常用的相对度量，但由于它可能受小数值影响，因此也使用了MAE的修改版本（见第7章式(7.46)），该版本采用通常的MAE，但按训练数据最后一年中每条馈线的平均每小时负荷进行缩放。这被称为相对MAE或RMAE。由于实验还将包括概率预测，因此也需要概率评分函数。在本实验中，使用了连续排序概率评分（CRPS）（见第7章式(7.50)）。每条馈线的CRPS误差也除以该馈线的平均每小时需求，得到相对CRPS或RCRPS。

14.2.2 数据分析

如本文所定义，居民低压馈线主要连接居民住户，但也可能连接少量商店、办公室、教堂、学校和其他中小型企业。因此，可以预期需求模式主要由人类行为驱动，因此包含强烈的日、周和年季节性。图14.1显示了不同连接用户数（标记为变量NumMpans）和不同居民用户数（标记为NumRes）的几条馈线的需求示例。时间序列图识别出几个特征。首先，即使是两个纯居民馈线（图中标记为馈线4和15），连接用户数相近（44和42），其行为也存在很大差异。虽然它们都表现出冬季需求较大的年季节性，但馈线15在圣诞节和复活节假期期间有较长的低需求期，而馈线4则没有。虽然本文不对此进行考虑，但这确实表明假期期间应作为模型的特殊输入处理，这可能是本文所呈现的更通用模型的重要扩展（见第13.6.2节）。另一个重要区别是主要是居民的馈线（4、10和15）与连接到单一商业用户的馈线23之间的差异。商业用户没有强烈的年季节性，与纯居民馈线相反，其在冬季需求相对较低。这些时间序列识别出这些时间序列的两个重要特性：首先，年季节性是需要纳入模型的重要特征；其次，不同馈线之间存在巨大差异，这表明可能不存在一个适合所有馈线的通用模型。

时间序列图已将年季节性确定为预测模型中需要包含的重要特征。其他年际季节性可以通过考虑自相关函数（ACF）图（见第6.2.2节）来识别。事实上，在每个ACF图中，在一天（滞后24小时）和一周（滞后196）及其倍数的滞后处都有相对较大的峰值。其中，周周期性的自相关最强，正如预期。由于有100条馈线，很难考虑所有各自的自相关图，因此可以特别关注一些重要的滞后。图14.2通过显示滞后196处的自相关作为每条馈线规模（平均日需求，以千瓦时（kWh）计）的函数来考虑周季节性信息。这表明最强的周自相关与最大的馈线相关联。对此的一种解释是，需求较大的馈线由更多居民用户聚合而成，增加了每周行为的显著规律性。

考虑到这些周期性，低压馈线的平均周需求是什么样子的？图14.3显示了三条各有四十个连接用户的馈线的归一化平均周需求示例，其中两条为纯居民用户，一条为单个商业用户和39个居民用户。数据已归一化（即除以平均周需求），以便可以比较不同馈线一周内需求的分布，而不受需求量级的影响。该图指出了几个重要特征：

• 日和周季节性相当显著。

• 通常工作日（周一至周五）非常相似，但周六和周日可能与工作日不同，且彼此也不同。这一重要观察表明，模型中应区别对待一周中的不同日期（见后面第14.2.3节）。

带有单个商业用户的馈线与纯居民馈线相比，具有不同的需求模式和分布。在工作日，混合馈线的需求峰值出现在白天，这表明商业用户可能主导了需求。相反，在周末，需求更类似于居民馈线，峰值出现在晚上，这表明商业用户不再占主导地位，可能在周末不运营或运营减少。

最后的观察表明，一条馈线与另一条馈线之间可能没有很强的关联，因此在低压馈线之间迁移学习的空间较小（第13.4节）。这将不会被测试。虽然每小时数据中没有很多异常值，但由于通信和传感器故障，仍有一些缺失值。回顾第6.1节，异常/缺失值可以保留并在训练阶段被模型忽略，也可以用有根据的估计值替换。后者简化了训练过程，因此这里选择了该选项。上述分析表明，存在强烈的周周期性和自相关证据，这可用于产生合理的值来填补缺失数据，如第6.1.2节所述。每个缺失值都用相邻小时需求与过去两周同一小时值的平均值替换。这确保了最终值在周季节性的量级和局部近期需求之间加权。

现在已经识别出数据中重要的自回归和时间周期效应，考虑外部或外生变量也是值得的。温度通常与负荷相关，例如，在较冷的温度下需要更多供暖，因此消耗更多能源[2, 3]。幸运的是，对于本试验，可以从距离布拉克内尔中心约16公里的附近气象站轻松获取天气数据。

需求（kWh）与温度（日前）预测（摄氏度）之间的关系如图14.4所示，针对一天中四个不同时间段的一个馈线（该馈线与温度的相关性特别强）。图中还包含了最佳拟合线（见第9.3节）和调整后的决定系数（见第8.2.2节的式(6.39)），该系数描述了拟合线解释关系的强度。从该图可以得出几个主要观察结果

需求与温度之间通常存在负相关。温度越低，需求越大。这可能是由于需要更多的电暖气和照明。

一天中不同小时的相关性不同，调整后的决定系数也不同。由于供暖行为很可能取决于房屋是否有人居住，这解释了为什么某些小时与温度的关系比其他小时更强。

尽管该馈线与温度具有最强的线性相关性之一，但相关性仍然不是特别强$(R^{2}<0.56)$。

正如预期的那样，温度预测的准确性随着预测时长的增加而降低。在2014年3月31日至2015年11月28日期间，日前温度预测的MAPE为11.85%，对于随后的每个日预测时长，MAPE增加到四天前（即提前73到96小时）预测的23.80%。如果温度是需求最重要的因素之一，那么可以预期模型的准确性会随着预测时长的增加而降低。

本节强调了可能重要的一些特征，并将在下一节介绍的预测模型中进行测试。当然，可以应用进一步的分析和技术，例如第6.2节中介绍的那些技术，以发现更多特征（例如图14.1中时间序列图所暗示的可能的假日效应）。然而，为了生成捕捉需求主要特征的预测，当前的特征应该足够了。

14.2.3 模型选择

数据分析中识别出的特征不仅作为预测模型的输入重要，还可以用来指导模型本身的选择。这里描述的预测模型均基于第9章中的模型。回顾一下，目标是生成精确的点预测和概率预测，提前四天。通过比较预测模型，可以了解哪些模型最准确，同时识别出描述LV级需求的一些更重要特征。在整个章节中，$L_{1},L_{2},\ldots$将表示需求时间序列，$L_{t}$表示时间步t的需求。对于概率预测，将在预测时域的每个时间步生成99个分位数。

首先，将定义四个基本基准，以正确评估输入并与主要预测模型进行比较。如第8.1.1节所述，基准模型有几种类别。由于没有现成的最先进模型，我们将专注于简单和常见的基准。

基准1：朴素季节持久法（LW）

如第9.1节所述，对于具有季节性的时间序列，简单的季节性持续模型可以作为基准的有效选择。对于具有季节性周期$s_{1}$的序列，其定义为

$$\begin{aligned} \hat{L}_{t+k} = L_{t+k-s_1}. \end{aligned}\tag{14.1}$$

鉴于周周期是LV需求时间序列中最强的自相关之一（回顾图14.2），选择$s_{1}=168$。该模型称为LW，表示它是上周作为本周的持续性预测。

基准2：简单移动平均（SMA）

季节性持续预测捕捉了需求时间序列中的部分季节性，但如第9.1节所示，它受到需求逐周自然变化的影响。为了平滑这些偏差，提出了简单移动平均。它取前p周同一时间段内周的平均值。定义为

$$\begin{aligned} \hat{L}_{t+k} = \frac{1}{p}\sum _{i=1}^{p}L_{t+k-i \times s_1} \end{aligned}\tag{14.2}$$

其中$s_{1}=168$再次是每小时数据的周周期。主要参数$p$需要在训练期间确定，$p=5$被发现是最优的。该模型保留了LW方法的季节性，但不会受到随机周变化的影响。该模型记为SMA或SMA-pW，表示平均中使用的p周数据。

基准3：经验CDF

可以通过估计历史负荷数据的分布来生成简单的概率模型。对于每周的每个时段，使用历史数据最后一年（只使用一年可减少任何潜在的季节性偏差，例如避免选择某个月份多于其他月份）的同一时段的所有负荷数据，定义一个经验分布函数（见第3.4节）。换句话说，要估计周一下午2点的点的分布，对于特定馈线，选择所有周一下午2点的负荷值。从得到的经验分布中，可以选择分位数。该分布的中位数也可以作为相应的点估计。有关经验分布的更多细节，请参见第3.4节。

基准4：线性季节趋势模型（ST）

先前的基准侧重于周季节性行为。如第9.3节所述，多元线性模型是一种相对简单的基准，但可以建模更复杂的关系。受第14.2.2节分析的启发，构建了一个线性模型来提前一天进行预测（还开发了另外三个等效模型分别用于提前两天、三天和四天的预测），该模型考虑了年、周和日的影响。将季节性行为纳入模型的最简单方法之一是使用正弦和余弦函数作为基函数（见第6.2.5节），例如：

$$\begin{aligned} \sum _{k=1}^{H}\left( a_k+b_k \eta (t)+\sum _{p=1}^P (c_{k,p})\sin \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) +(d_{k,p})\cos \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) \right) , \end{aligned}\tag{14.3}$$

其中，H是一天中的时间步数（对于每小时数据为24），$\eta(t)=$ $\left\lfloor{\frac{t}{H}}\right\rfloor+1$是试验日的标识符（第1天是试验集的第一天：2014年3月20日）。这里的函数x是向下取整函数，将数字向下舍入到小于或等于x的最大整数，例如$\lfloor 2.1\rfloor=2$、$\lfloor-5.4\rfloor=-6$和$\lfloor 12\rfloor=12$。这个简单的模型是描述年季节性的良好起点，但它没有考虑数据分析中观察到的日季节性。因此，可以使用虚拟变量（见第9.3节）更新模型，例如：

$$\begin{aligned} \sum _{k=1}^{H}\mathcal {D}_{k}(t)\left( a_k+b_k \eta (t)+\sum _{p=1}^P (c_{k,p})\sin \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) +(d_{k,p})\cos \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) \right) , \end{aligned}\tag{14.4}$$

其中$\mathcal{D}_{k}(t)$是日效应虚拟变量，定义为

$$\mathcal {D}_j(t) = {\left\{ \begin{array}{ll} 1, &{} \text {if }j = t + Hk, \text {for some integer k} \\ 0, &{} \text {otherwise}, \end{array}\right. }$$

这个新模型通过有效生成24个模型（一天中每个小时一个模型）来捕捉年季节性。数据分析还显示，LV需求时间序列中存在强烈的周周期性，因此可以再进行一次调整，得到最终模型

$$\begin{aligned} \hat{L}_t= & {} \sum _{k=1}^{H}\mathcal {D}_{k}(t)\left( a_k+b_k \eta (t)+\sum _{p=1}^P (c_{k,p})\sin \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) +(d_{k,p})\cos \left( \frac{2\pi p \eta (t)}{365} \right) \right) \nonumber \\{} & {} + \sum _{l=1}^{7H}f_l\mathcal {W}_l(t), \end{aligned}\tag{14.5}$$

其中 $\mathcal {W}_l(t)$ 是一个由以下定义的周虚拟变量

$$\mathcal {W}_j(t) = {\left\{ \begin{array}{ll} 1, &{} \text {if }j = t + 7Hk, \text {for some integer k} \\ 0, &{} \text {otherwise}, \end{array}\right. }$$

$\sum _{l=1}^{7H}f_l\mathcal {W}_l(t)$ = 周，这允许对周末和工作日的不同行为进行建模，并能捕捉在图14.3中观察到的特征。需要选择的超参数之一是季节项的数量P。为简单起见并避免过拟合（见第8.1.2节），将其设为$P=3$（尽管可以使用第8.1.3节中描述的验证集来正确选择该参数）。

虽然公式看起来相对复杂，但该模型实际上非常简单，并且仍然是一个多元线性模型。由于虚拟变量的存在，实际上对于一周中的每个小时，有168个独立的模型用于日前的预测。

该模型可以轻松扩展以包含更多输入。在这种情况下，时间t的温度$T_t$之间的非线性关系可以通过添加温度的简单多项式来包含。由于需求与温度之间的关系并非强烈的非线性，因此考虑简单的三次多项式：$\alpha _1 T_t + \alpha _2 T_t^2 +\alpha _3 T_t^3$，其中$\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$是多元线性模型中温度分量的系数。

任何线性模型都可以通过在第11.4节中描述的分位数回归中对每个分位数使用该模型，轻松扩展为单变量概率模型。图14.5展示了针对特定馈线的训练集中下午6点数据的分位数回归拟合示例，包括10、50和90百分位数。注意模型捕捉到的主要年度季节性以及周末需求的小幅增加。需求的变化可能看起来不平滑，容易让人试图强制数据具有更简单的年度季节性形状，但重要的是不要试图猜测数据中的模式，因为对模型的唯一真正评估将在测试集上进行。此外，由于这是一个基准模型，没有必要追求完美。年度季节性的变化也可能是由于训练集中完整年份数量较少。如果有几年的数据，它可能会更平滑。

上述基准模型包含了数据分析发现的许多重要特性，包括天气变量以及日、周和年周期性。然而，它们不包含任何自回归效应。因此，这些基准模型将与一些包含该特征的略微更复杂的需求模型进行比较。

主要模型1：季节性指数平滑（HWT）

第9.2节描述的双季节指数平滑方法（或其创建者命名的Holt-Winter-Taylor (HWT)方法）非常适用于低压需求预测，因为它能够纳入两个层次的季节性和局部自回归行为。在这种情况下，使用的两个周期参数分别为$s_1 = 24$和$s_2 = 168$，因为数据分析已表明日季节性和周季节性分别是需求时间序列中最重要的两个组成部分。在HWT模型中，近期数据对最终预测的贡献大于旧数据，这意味着它也隐式地对季节分量进行建模，因为预测的整体水平基于局部近期信息。

一旦该模型的参数训练完成，可以通过第11.6.1节描述的自举法对一步前向残差进行抽样生成概率预测。与其他模型一样，使用中位数作为点预测模型。

主要模型2：自回归模型（ARWD, ARWDY）

另一种纳入自回归信息的方法是在一个合理的预测模型的残差上生成AR模型。这与第7.5节描述的过程相同，该节描述了用于改进预测模型的自回归修正。更一般地，如果残差时间序列$r_{t}=L_{t}-\mu_{t}$中仍存在自相关结构，则任何估计时间序列$L_t$的预测模型$\mu_{t}$都可以使用这种方法进行改进。在这种情况下，自回归模型被应用于残差时间序列

$$\begin{aligned} r_k = \sum _{k=1}^{p} \phi _k r_{t-k} + \epsilon _t, \end{aligned}\tag{14.6}$$

其中 $\epsilon _t$ 是误差，最合适的阶数 p 可以通过例如计算不同 $p=1, \ldots , p_{\max }$ 值下的Akaike信息准则（AIC）或其他信息准则（见第8.2.2节）来找到。

基础预测模型 $\mu _t$ 的选择非常通用。由于重点在于测试自回归效应，基线模型将保持相对简单。

分析显示周季节性很重要，因此预测模型的第一个选择是简单的线性模型

$$\begin{aligned} \mu _t = \sum _{j=1}^{7H} \beta _{j} \mathcal {W}_j(t). \end{aligned}\tag{14.7}$$

其中，$H=24$ 和 $\mathcal {W}_j(t)$ 是周虚拟变量的周期

$$\mathcal {W}_j(t) = {\left\{ \begin{array}{ll} 1, &{} \text {if }j = t + 7Hk, \text {for some integer k} \\ 0, &{} \text {otherwise}, \end{array}\right. }$$

正如ST基准预测中所使用的。待训练的参数是系数 $\beta_{j}$，它们通过初始前一年的历史负荷数据上的简单普通最小二乘法（OLS）（见第8.2节）进行估计。根据该模型计算残差，并将残差模型的估计 $\hat{r}_t$ 加到 $\mu _t$ 上得到最终预测

$$\begin{aligned} \hat{L}_t = \mu _t + \hat{r}_t. \end{aligned}\tag{14.8}$$

该模型将记为ARWD，表示带有工作日均值的自回归模型。

还考虑了第二个预测模型，它在ARWD均值模型基础上加入了数据分析中观察到的年季节性项，由下式给出

$$\begin{aligned} \mu _t = \sum _{j=1}^{7H} \beta _{j} \mathcal {W}_j(t) + \sum _{k=1}^K \alpha _{1,k} \sin ( 2\pi t k/ A ) + \alpha _{2,k} \cos ( 2\pi t k/ A ) \end{aligned}\tag{14.9}$$

参数为 $\beta_{j}$ 和 $\alpha_{j,k}$，以及 $A=365H$ 作为年季节性。年季节性通过阶数K固定的傅里叶近似来建模，K设为 $K=2$ 以降低复杂度。虚拟变量 $\mathcal {W}_j(t)$ 如公式(14.7)所示。与ARWD模型一样，$\mu_{k}$ 通过OLS在模型和训练数据之间进行估计。该模型用于计算新的残差时间序列，然后也通过OLS训练，并加到公式(14.9)的均值模型上，得到最终预测 $\hat{L}_t$，如下

$$\begin{aligned} \hat{L}_t = \mu _t + \hat{r}_t. \end{aligned}\tag{14.10}$$

与ARWD模型类似。该模型记为ARWDY，其中Y表示通过傅里叶项包含的年周期性。注意，根据预测是未来一天、两天、三天还是四天，分别使用不同的ARWD/ARWDY模型。

注意本模型中季节性建模与ST模型之间的细微差异。在ARWDY模型中，周期性并未针对一天中的不同时段进行分离。如果季节性对不同时段的影响存在显著差异，那么ST模型可能会表现稍好。然而，ARWDY还包括自回归效应，该效应现在纳入了小时之间更多的相互依赖关系。与ST方法一样，天气效应通过向均值方程添加线性项来包含。

这些回归模型将作为点预测。为了将其扩展到概率预测，将考虑第11.6.2节描述的稍复杂的GARCH类型模型。在该模型中，方差本身通过考虑最终模型残差 $\epsilon _t = \hat{L}_t - L_t$ t 来建模，假设其形式为 $\epsilon _{t} = \sigma _{t} Z_t$ t，其中 $\sigma _t$ 是 $\epsilon _t$ 的条件标准差，$(Z_t)_{t_\in \mathbb {Z}}$ 是一个独立同分布随机变量，具有 $\mathbb {E}(Z_t)=0$ 且 $\mathbb {V}ar(Z_t)=1$。该方法在第11.6.2节中详细描述，需要建立一个标准差模型。由于需求的变化可能与需求的大小相关（需求越大，变化越大），点预测的相同均值模型将用于标准差。例如，在ARWDY的情况下，模型为

$$\begin{aligned} \sigma _t = \sum _{j=1}^{7H} \tilde{\beta }_{j} \mathcal {W}_j(t) + \sum _{k=1}^K \tilde{\alpha }_{1,k} \sin ( 2\pi t k/ A ) + \tilde{\alpha }_{2,k} \cos ( 2\pi t k/ A ). \end{aligned}\tag{14.11}$$

其中系数 $\tilde{\beta}_{j},\tilde{\alpha}_{1,k},\tilde{\alpha}_{2,k}$ 待求，参数上的波浪线用于与均值模型中的系数区分。一旦找到标准差 $\sigma _t$ 和均值 $\hat{L}_t$，就可以采用自助法（如第11.6.2节所述）为预测范围内的每个时间步生成经验分布（见第3.4节）。为此，执行以下操作：对于从时间步 $t=N+1$ 开始的预测

1. 从随机变量 $Z_{t}$ 的经验分布中抽取一个样本 $\hat{Z}$
2. 用标准差缩放变量，得到残差 $\epsilon_{N+1}=\sigma_{N+1}\hat{Z}$
3. 将其加到均值预测 $\tilde{L}_{N+1}=\hat{L}_{N+1}+\epsilon_{N+1}$ 上
4. 在预测输入中使用该当前值，以生成下一时间步 $\hat{L}_{N+2}$ 的预测。
5. 重复此过程，直到生成了预测范围内所有时间步的预测。

自助法生成多元概率预测，但这些可以通过拟合分布或根据生成的点在每个时间步计算经验分位数（第3.4节）转换为每个时间步的单变量概率预测。

14.2.4 测试与评估

第14.2.3节描述了一系列多样化的模型。由于它们都有略微不同的结构并使用不同的特征作为输入，因此可用于测试各种假设和前提。如第14.2.1节所述，通过测试集上的误差可以分析以下主要问题：

1. 温度的影响是什么？
2. 准确度如何随预测范围变化？
3. 对于不同的馈线，准确度如何变化？
4. 哪些特征对于准确预测最重要？

所有模型均在覆盖2014年3月20日至2015年9月30日（含）的训练集上训练，并为从2015年10月1日开始的53天测试集生成了滚动四日提前预测。请注意，在本例中未使用验证集（第8.1.3节），原因有二：首先，所有模型使用的参数数量相对较少，因此过拟合数据的可能性较低，故本次试验跳过了验证集上的模型选择步骤。其次，尽管数据涵盖约一年半，但对于具有年度季节性的数据集而言并不算大，因此验证集需要进一步分割数据，可能会降低测试集结果的可靠性。因此，更大的训练集增加了正确训练模型参数的机会。

首先考虑第14.2.3节生成的预测模型比较。表14.1显示了所有100个馈线在整个53天测试期内，使用MAPE、RMAE和RCRPS度量（第14.2节）的所有四日提前预测的平均得分。

首先考虑点预测（MAPE和RMAE得分）。结果的主要观察如下：

• 在基准模型中，简单持久性模型（LW）最不准确，而使用5周移动平均（SMA-5W）和简单季节性回归（ST）表现最佳。这表明对每周历史数据进行平均比使用简单的“上一周作为本周”值更有助于生成更准确的模型。

• 在两个最佳基准模型中，ST预测略优于SMA-5W（MAPE仅低2%），这表明包含年度季节性可能有益，但效果甚微。

主要模型（ARWD、ARWDY和HWT）比基准模型更准确。这些模型均具有自回归特征，因此表明需求时间序列中存在重要的时间依赖性。

ARWD和ARWDY方法略优于HWT方法。这些模型之间的主要区别之一是HWT仅显式地使用前一个滞后（尽管之前的滞后作为平滑历史项被隐式包含），因此表明虽然最近的前一需求是需求的重要指标，但更早的滞后对于确定当前需求也很重要。

ARWD和ARWDY预测模型之间差异很小，ARWD在所有度量上平均表现略好。因此，与自回归项相比，显式季节性项对预测精度的重要性有限。

概率预测实际上显示了与MAPE和RMAE相同的方法排名，ARWD被列为最准确的方法，其次是ARWDY，然后是HWT，接着是ST，最后是经验方法。这是一个令人鼓舞的结果，因为它表明点预测的准确性可能指示概率预测的准确性。概率方法通常训练成本更高，因此如果点预测可用于对概率预测进行排名，这将显著降低识别和训练这些方法的计算成本。但必须谨慎，因为这仅是经验观察，尚未从理论上确立。

温度效应

表14.1未考虑温度对居民低压电网需求预测精度的影响。如第14.2.2节所示，温度与需求之间的相关性似乎较低，尽管温度通常被认为与电力需求密切相关（因其与供暖和制冷行为的明显联系）。使用和未使用温度预测的特定点预测的MAPE如表14.2所示。该表表明天气并非需求的主要驱动因素。基准方法ST略有改善，但最准确的模型ARWD和ARWDY在包含温度后均变得不准确。为什么会这样？

表14.1 所有100个馈线在整个53天测试期内所有四日提前预测时域的所有预测方法的MAPE、RMAE和RCRPS。每个分数的最低错误以粗体突出显示。经Elsevier许可重印自[1]

表14.2 各方法的MAPE值，展示了在部分方法中纳入温度预报数据的效果。经Elsevier许可转载自文献[1]

为进一步考察将温度作为输入的影响，考虑按预测期（以日分辨率）划分MAPE分数时的情形，如表14.3所示。为便于比较，同时给出了温度预报本身的MAPE值。温度预报的精度从未来一天到未来四天下降了超过80%。因此，如果存在对温度的强依赖性，可以预期使用温度训练的模型也会以相近的速率下降精度。实际上，ST需求预测的精度变化非常微小，ARWDY和ARWD需求预测的精度仅分别下降4.3%和5.6%。可以开展进一步实验，例如在需求预测模型中纳入滞后温度值。然而，在所有情况下结果都相同：温度似乎对需求预测精度没有显著影响。如果检查各个馈线，温度仅能改善100条馈线中19条的预测，且所有情况下MAPE的改善均不超过4%。

纳入温度同样未能改善概率预测。图14.6展示了使用ARWDY模型生成的概率预测的可靠性图（参见第7章），其中分别使用了无温度（实心点）、实际温度（空心点）和温度预报（叉号）。对角线表示模型生成的分位数（即数据的预测分布）与经验分位数一致时的期望线。显然，不使用任何温度的模型最接近该线，因此表明纳入温度（无论是预报值还是实际值）并未实际改善预测。

表14.3 部分方法在不同日前预测期上的MAPE分数，这些方法使用温度预报值作为输入。同时给出温度预报本身的平均MAPE以作比较。经Elsevier许可转载自文献[1]

温度数据缺乏影响可能有多种解释，例如季节性可能是需求的主要驱动因素，而需求与温度之间感知到的相关性实际上仅仅源于季节性与温度的共线性。实际上，季节性在此情况下可能是一个混淆变量（第13.6.1节）。此外，这些馈线上用户的供暖可能大多使用天然气而非电锅炉，因此温度的影响微乎其微。但无论原因为何，对于预测者而言，针对这一特定数据和测试集的结果表明，温度对于这些预测模型并不是特别重要的输入。这一结果也揭示了一个重要经验：即使有强烈的直觉理由认为某个解释特征很重要，它也未必转化为对预测模型的重要性。在后续分析中，将不再进一步考虑温度。

预测精度与预测期

大多数预测在预测未来越远的时段时精度越低（第7.3节）。原因之一是近期值通常能很好地指示近期的未来需求。当预测更远的未来时，最近的观测值已较为陈旧，因此对准确预测的帮助不大。如果某个预测能在更长的未来预测期内保持精度，那么它对于更长期的规划可能更有用。对于储能应用而言，这意味着可以制定更长期的充放电计划。

表14.4 选定的方法在不同日前天数下的预测精度（MAPE）。换言之，“第1天”列表示预测未来1至24小时的平均误差，“第2天”列表示预测未来25至48小时的平均误差，以此类推。对于ARWDY，MAPE误差仅从14.34%增加到14.87%，即增加3.7%。事实上，这些模型中任何一个的精度下降幅度都很小，这表明这些模型在预测四天后的需求时，与预测明天需求时所能提供的精度相近。从计算角度看，这相当有利，因为它可以在对预测精度影响最小的情况下降低模型重新训练的成本。

精度在小时级别上如何变化？这次考虑概率预测（回顾一下，无论是点预测还是概率预测，结果在定性上都是相似的）。图14.7展示了所选方法在小时预测期上的相对CRPS误差。回忆一下，所有预测均从每天上午7点开始，因此第一个预测期对应上午8-9点。可以观察到以下几点：

一天内的误差形状相似。因此，一天中的时段是预测精度的主要指标。注意，误差最高的区域（最大的CRPS）对应于通常高需求（从而高波动性）的时段，例如傍晚时段。夜间时段（大约晚上10点到早上5点）误差最低。这些通常是低活动时段。这支持使用GARCH类型模型，其中波动性（标准差）与平均需求相关。

• 尽管形状相似，但误差从一天到下一天存在小幅上升趋势。

不同预测方法在不同时段更为准确。例如，尽管ARWD通常是最准确的模型，但在某些傍晚时段，

表14.4 各方法在每个提前日期的MAPE得分。经Elsevier许可转载自[1]。

ST基准实际上更准确。因此，生成更准确预测的一种可能方法是结合多个模型（参见第13.1节）。

预测精度与馈线规模

最后一部分分析涉及不同馈线之间的精度比较。如前所述，馈线形状和规模各异。有些连接多达109个用户，而有些仅连接一个。此外，用户类型多样。有些是商业用户，但大多数是居民用户，甚至居民用户之间的行为也存在很大差异。你和邻居一样吗？另外，还有其他未监测的负荷：路灯、电梯、摄像头、房东照明等，这些都对负荷形状和多样性有贡献。

图14.8展示了ARWDY模型下每个馈线的MAPE随平均日需求的变化。每个点代表一个不同的馈线，其中一些用不同图标表示不同类别的馈线。一个直观的观察是，88个馈线紧密拟合幂律曲线（图中的粗曲线）。较小的馈线往往波动性更大，因此相对误差值更大。相比之下，较大的馈线误差较小。这很大程度上可以用大数定律来解释。馈线规模增大对应于连接的用户数量增多，从而导致更平滑、更规律的负荷需求，更易于预测。

有12条馈线不符合幂律关系。这种异常行为应促使研究者尝试更好地理解这些馈线为何偏离一般趋势。通过观察七条馈线的平均负荷曲线，一个直观发现是这些馈线具有异常高的夜间负荷。这引发了关于这些馈线上用户类型的思考。事实上，发现这七条馈线中每条馈线上有75%-85%的用户拥有大量夜间蓄热器（OSH）。夜间蓄热器是在夜间储存热量并在白天释放的加热器。在图中这些馈线被标记为“大型OSH馈线”。此外，另外两条馈线具有较小的夜间负荷，其馈线上分别有62%和75%的用户拥有OSH，它们被标记为“小型OSH馈线”。这本身不足以解释这些馈线不服从幂律的原因。还必须确认其他88条馈线中没有哪条也具有高比例（超过60%）的OSH或具有高夜间负荷的负荷曲线。事实上，发现这些馈线正是这种情况，因此强烈提示高比例OSH的存在会以意想不到的方式影响所选预测模型的准确性。其他三条异常馈线呢？其中至少一条被进一步发现具有独特性。实际上，最大的馈线被发现是一个大型办公楼的公共区域照明连接点。最后两条由于连接信息不完整而无法确定。

这些结果在多个层面上都很重要：

1. 幂律关系表明，对于大型馈线的预测比小型馈线更准确。对于储能应用，这有助于决定在何处使用储能设备。例如，在大型馈线上可以生成准确的预测，这意味着储能设备更有可能被优化控制。相比之下，储能设备可能不适合小型馈线，因为负荷波动太大。
2. 它表明，对于具有异常大误差（即与幂律关系有较大偏差）的馈线，需要更定制化的方法。识别这些馈线为改进预测创造了机会，这将增加储能控制等应用在更广泛变电站和场景中的机会。

14.3 示例代码

为演示本书中描述的一些方法和技术，并展示它们在实际代码中的实现，已分享了一个Python笔记本，以展示分析数据和开发模型的一些步骤。代码可在以下仓库找到：https://github.com/low-voltage-loadforecasting/ book-case-study。

该笔记本将简要演示以下主题：

1. 使用常用Python绘图库matplotlib和Seaborn进行探索性数据分析，
2. 使用常用Python数据库Pandas进行特征建模，
3. 使用机器学习库Scikit-learn进行交叉验证，
4. 在Python中进行模型拟合和选择（包括简单基准模型）。与前一节相比，代码将更侧重于机器学习模型（第10章）。特别是，将介绍常见的机器学习包/库，如Scikit-learn和TensorFlow。
5. 模型评估与诊断。

14.4 小结

本章重点介绍了创建和分析成功需求预测的主要组成部分。本章通过一个居民低压电网应用案例，展示了如何应用前面章节描述的技术和方法，以便在给定数据的情况下正确设计预测试验。我们使用自相关函数图和散点图等基本绘图来识别关键关系，并通过各种统计摘要对这些关系加以支持。考虑了点预测和概率预测，并使用一系列误差度量进行了比较。通过这些模型的比较，识别出了一些重要特征和关键关系。

本章还强调了基准对于更好理解预测的重要性，以及数据分析在创建模型中的作用，但最重要的是，本章展示了质疑关于数据和解释变量的基本假设的重要性。例如，对于居民需求负荷预测，通常在所有模型中包含温度，因为温度被认为是需求的一个驱动因素。然而，至少在这个具体示例中，包含温度可能会降低预测准确性。

本书附带了一份代码，并在第14.3节中进行了描述。这有助于展示如何在实践中实现一些方法和技术。鼓励读者尝试生成自己的预测。附录C中给出了一个引导性的逐步操作指南，可用于完成从数据清洗到测试的主要步骤。

14.5 习题

对于本节，要求运行你自己的预测试验。你可以遵循第14.2节中的相同步骤，或遵循第12章中给出的更详细步骤。你也可以按照附录C中的逐步操作指南进行。为了进行实验，请从附录D.4中共享的时间序列中选择一个需求时间序列。

还建议运行第14.3节中链接的代码，以获得一些实际分析和实现的想法。

参考文献

1. S. Haben, G. Giasemidis, F. Ziel, S. Arora, 短期负荷预测及低压等级温度的影响。Int. J. Forecast. 35, 1469–1484 (2019)

1. S. Rahman, Formulation and analysis of a rule-based short-term load forecasting algorithm. Proc. IEEE 78, 805–816 (1990)

1. M. Bessec, J. Fouquau, The non-linear link between electricity consumption and temperature in Europe: a threshold panel approach. Energy Econ. 30(5), 2705–2721 (2008)

除非在材料的致谢行中另有说明，本章中的图像或其他第三方材料均包含在本章的知识共享许可中。如果材料未包含在本章的知识共享许可中，且您的预期使用不被法定法规允许或超出允许使用范围，您将需要直接获得版权持有人的许可。